LATIHAN SOAL STRUKTUR ALJABAR
1. Misalkan
P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan
dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring?
a. Asosiatif
b. Distributif
c. Komutatif
d. A,B,C
Benar
Penyelesaian:
P = {3 x | x ∈ Z }
Langkah
pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.
a + b = b + a
3 + 6 = 6 + 3
9 =
9
Langkah
kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.
a.b = b.a
3.6 = 6.3
18 = 18
Jadi
P adalah komutatif.
2. Tunjukan
bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup
dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:
H
= {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H Í G.
Dari
tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :
a. Tertutup
b. Terbuka
c. Semi
Terbuka
d. Semi
Tertutup
Ambil
sebarang nilai dari H
misalkan
0, 2, 4 Î H
0
+ 0 = 0
0
+ 2 = 2
0
+ 4 = 4
2
+ 2 = 4
2
+ 4 = 0
4
+ 4 = 2
karena
hasilnya 0, 2, 4 Î H, maka
tertutup terhadap H
3. Dibawah
ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi, kecuali...
a. Grup
b. Monoid
c. Polaroid
d. Grupoid
Penyelesaian:
Hanya
ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.
4. Misalkan
himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner:
A * B = A + B + AB
Termasuk himpunan
aljabar apakah variabel N ?
a. Grup
b. Semigrup
c. Grupoid
d. Monoid
Penyelesaian:
i.
Tertutup
Ambil
sebarang A, B € N, karena A, B € N, dan AB € N maka A * B = A + B + AB € N. Jadi,
N tertutup terhadap operasi biner *.
ii.
Assosiatif
Ambil
sebarang A, B, C € N, maka (A * B) * C = (A + B + AB) * C = (A + B + AB) + C +
(A + B + AB) C = A + B + AB + C + AC + BC + ABC
A
* (B * C) = A * (B + C + BC) = A + (B + C + BC) + A (B + C + BC) = A + B + C +
BC + AB + AC + ABC
Maka
untuk setiap A, B, C € N berlaku
(A
* B) * C = A * (B * C).
Jadi,
(N, *) merupakan suatu semigrup.
5. Struktur
aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ... macam
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Penjelasan:
Ada
4 macam sistem aljabar pada struktur aljabar yaitu: Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup.
6. Operasi
* pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S maka
akan berlaku…
a. 1*a
= a*1 = a
b. a
dan c salah
c. a*b
= b*a
d. (a*b)*c
= a*(b*c)
e. a
dan c benar
Penjelasan:
Rumus
dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)
Rumus
dasar Komutatif : a*b = b*a
7. Dibawah
ini yang merupakan struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi,
kecuali:
a. Monoid
b. Koloid
c. Semigrup
d. Kelompok
e. Grupoid
Penjelasan:
Hanya
ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.
8. Misalkan
suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = |x
– y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk setiap x,y Î Z+. Apa saja kah operasi
biner yang mungkin?
a. Komutatif
b. Assosiatif
c. Jawaban
A dan D benar
d. Tertutup
e. identitas
Penjelasan:
i.
Tertutup
Misalkan
x = 2 dan y = 3,
x
* y = 2 * 3 = 1
x
* x = 2 * 2 = 2
x
* y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+
ii.
Komutatif
x,
y Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x
* y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y
* x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x
* y = y * x komutatif
9. Dalam
Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat
himpunan grup, kecuali?
a. Himpunan
tertutup dibawah suatu operasi
b. Operasi
bersifat asosiatif
c. Tidak
terdapat elemen identitas
d. Setiap
anggota himpunan memiliki invers untuk operasi
Penjelasan:
Syarat dari grup adalah:
i.
Himpunan S tertutup
dibawah operasi *
ii.
Operasi * bersifat
asosiatif
iii.
Pada S terdapat elemen
identitas untuk operasi *
iv.
Setiap anggota S memiliki
invers untuk operasi *
10. Operasi
* pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S berlaku?
a. a*b
= b*a
b. (a*b)*c
= a*(b*c)
c. a
dan b benar
d. a
dan b salah
Penjelasan:
Rumus
dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)
